Родился 27 марта 1959 года в греческом селении Санта в Грузинской ССР.
Окончил школу в Ростовской области. После школы отслужил в Советской армии. Окончил факультет материально-технического снабжения Ростовского института народного хозяйства. Имеет степень кандидата экономических наук.
В 1980 году пришёл работать на Донскую государственную табачную фабрику в должности транспортировщика. В 23 года Иван Саввиди стал бригадиром слесарного цеха, а после был повышен до заместителя директора. В 1993 году избран генеральным директором компании «Донской табак».
С марта 1997 года назначен членом Совета, с апреля 1997 года — председателем Совета директоров Ростовского коммерческого банка социального развития (Ростовсоцбанк).
В августе 2000 года Иван Саввиди учредил «Благотворительный фонд И. И. Саввиди». Фонд направлен на поддержку традиционных религиозных сообществ России, развитие образования, науки и спорта.
В 2003 и 2007 году Саввиди был избран депутатом Государственной думы. Был членом фракции «Единая Россия».
В августе 2004 года Иван Саввиди основал управляющую компанию «Группа АГРОКОМ».
С июля 2002 по июль 2005 года был президентом ФК «Ростов».
С января 2006 года являлся президентом футбольного клуба СКА (Ростов-на-Дону).
С июня 2004 года Саввиди является президентом Ассоциации греческих общественных объединений России (АГООР). Он также является общественным деятелем сообщества понтийских греков стран СНГ. По его инициативе и поддержке с 2007 года стали возможными ежегодные паломничества в монастырь Панагия Сумела в Трабзоне.
На Поместном соборе РПЦ 2009 года являлся представителем Ростовской епархии от мирян.
В 2012 году приобрёл контрольный пакет акций греческого футбольного клуба ПАОК. В марте 2018 года Иван Саввиди выбежал во время матча на футбольное поле с пистолетом, из-за чего на три года получил запрет на посещение футбольных матчей Чемпионата Греции, но имеет возможность посещать матчи ПАОКа в еврокубках.
Семья.
Жена — Кирияки Саввиди.
Дети — сыновья Георгис и Никос.
Внуки — Клеоники.
В 2021 году издание Forbes оценило состояние в 1,7 млрд.$